Olá, pessoas, como estão? Ainda estão comemorando a vitória do Lula?

No último texto, eu apresentei a vocês o conceito da estrutura algébrica chamada “grupo”. Vimos suas definições e o que faz, de um grupo, um grupo (por mais redundante que isso possa parecer). Hoje, vamos falar sobre a segunda estrutura algébrica do título: os anéis.

Antes de começar o assunto deste texto propriamente, eu gostaria de pedir para vocês lerem meu último texto dessa série, pois notei que não lhes dei um exemplo de um grupo que não fosse comutativo. O motivo para eu não ter dado esse exemplo é porque, de fato, não existe um exemplo simples e conhecido de grupo não comutativo somente com os números usuais, então vou só dar um exemplo sem me aprofundar e depois vamos ao texto propriamente dito.

De maneira rápida, nós sabemos que um grupo (G,*) é formado pelo conjunto G e a operação denotada por *. Esta operação tem que ser fechada e associativa e no conjunto G deve haver o elemento neutro da operação *, além de todo elemento de G ter que ter um inverso que também pertence a G.

Isto posto, o conjunto das matrizes quadradas 2×2 (lê-se dois por dois) invertíveis munido da operação de multiplicação de matrizes é um grupo não comutativo. A multiplicação tem restrições que fazem dessa operação naturalmente não comutativa, mas é necessário exigir que essas matrizes sejam quadradas e invertíveis para garantir as outras propriedades dos grupos. Apesar de não explicar aqui, as matrizes reapareceram nesse texto.

Na imagem temos um exemplo da multiplicação de matrizes 2×2 (lê-se matriz dois por dois). Nela temos uma matriz esquerda com a seguinte composição: o número 1 na linha 1, coluna 1; o número 3 na linha 1, coluna 2; o número 2 na linha 2, coluna 2; o número 5 na linha 2, coluna 2. A esquerda desta matriz temos a matriz com a seguinte composição: o número 2 na linha 1, coluna 1; o número 2 na linha 1, coluna 2; o número 0 na linha 2, coluna 2; o número 1 na linha 2, coluna 2. A multiplicação dessas duas matrizes é feita e conseguida de um sinal de igualdade (=), tendo como resultado uma matriz incompleta também 2×2. Essa matriz é composta por: a expressão 1×2 (lê-se um vezes 2) mais 3×0 na linha 1, coluna 1; a expressão 1×2 + 3×1 na linha 1, coluna 2; a expressão 2×2 + 5×0 na linha 2, coluna 2; a posição na linha 2, coluna 2 encontra-se em branco.

Prosseguindo

Então, cês lembram qual era o tema de texto? Resposta = Anéis.

Não aqueles de se pôr nos dedos (ou em outros lugares ( ͡° ͜ʖ ͡°)), mas sim uma estrutura algébrica chamada “anel”.

Como vocês já sabem, se é uma estrutura algébrica, então temos pelo menos um conjunto, que tem que ser um conjunto não vazio, e pelo menos uma operação associada a este conjunto. Bom, para os anéis teremos um único conjunto mesmo, mas teremos duas operações.

Se um grupo pode ser denotado por (G,*), indicando que esse grupo é composto pelo conjunto G e pela operação *, um anel pode ser denotado (A,*,#), como no caso anterior, isso vai significar que o anel é formado pelo conjunto A, a operação * e a operação # que são operações quaisquer.

Mas e aí? Um anel é um grupo com mais uma operação? É só um conjunto que, ao invés de ter só uma operação, tem duas??

Bom, mais ou menos. Ele é um grupo com mais uma operação, mas não é qualquer grupo e essa operação nova não segue as mesmas regras que a operação anterior. Para trazer luz a isso, vamos ao lugar mais seguro quando tentamos entender pensamentos matemáticos. Vamos às definições.

Um anel é constituído de um conjunto A munido de duas operações * e #, podendo ser indicado por (A, *, #). As operações de um anel devem ser dotadas das seguintes propriedades:

• Se a ∈ A (lê-se: o elemento ‘a'(azinho) pertence ao conjunto ‘A’ (azão)), b ∈ A(azão) e c ∈ A(azão) então vale:

1. a * b ∈ A(azão);
2. (a * b) * c = a * (b * c);

Ou seja, para * vale tanto o fechamento quanto a associatividade.

• ∃ e ∈ A (lê-se: existe um elemento ‘e’ que pertence a A(azão)), tal que:

e * a = a * e = a;

Ou seja, para *, existe um elemento neutro em A.

• Para qualquer elemento b ∈ A(azão), com b ≠ e, ∃ b ∈ A(azão) tal que:

b * b = b * b = e;

Ou seja, para *, todo elemento em A tem inverso.

E aqui você pode tá dizendo “Ô bocó, cê tá descrevendo um grupo que nem no outro texto!!” e, de fato, mas eu ainda não acabei.

• Se a ∈ A(azão), b ∈ A(azão) então vale:

a * b = b * a

Ou seja, a operação *, para um anel, tem que ser OBRIGATORIAMENTE comutativa. Comutatividade é isso, essa propriedade de não importar a ordem de como se operam as coisas. Exemplos disso são a soma e a multiplicação que nos utilizamos usualmente (aquelas que se aprendem na escola).

Se eu parasse aqui nós teríamos um grupo comutativo que também é nomeado de grupo abeliano. Dei essa pausa nesse ponto pois, às vezes, se define um anel como um grupo abeliano que tem uma segunda operação e então se nomeia a propriedades que essa segunda operação tem que ter. Isto explicado, vamos continuar

• Se a ∈ A(azão), b ∈ A(azão) e c ∈ A(azão) então vale:

1. a # b ∈ A (lê-se: ‘a’ (azinho) jogo da velha ‘b'(bezinho) pertence ao conunto ‘A'(azão));
2. (a # b) # c = a # (b # c);

Ou seja, para a operação ‘#’ vale tanto o fechamento quanto a associatividade, assim como foi para a operação *.

• Se a ∈ A(azão), b ∈ A(azão) e c ∈ A(azão) então vale:

1. a # (b * c) = a # b * a # c;
2. (a * b) # c = a # c * b # c;

Essa propriedade é chamada de distributividade ou propriedade distributiva. O nome é bastante explicativo já que nós vamos distribuindo a operação ‘#’ nos componentes da operação ‘*’.

E pronto, temos definido o que é um anel. É um conjunto com duas operações onde cada uma tem algumas regras para seguir. Como vimos, na notação (A(azão), *, #) a ordem é importante, pois a operação que aparece primeiro, *, tem que obedecer a mais regras do que a que aparece depois dela.

Como falei no início do texto, as matrizes quadradas iriam aparecer de novo, isto pois, matrizes quadradas de ordem n (ou seja, matrizes nxn) formam um anel. Nesse anel a operação * é substituída pela operação + (que é a some entre matrizes) e a operação # é substituída pela operação de multiplicação de matrizes. Na soma de matrizes, nós simplesmente somamos cada elemento com o seu correspondente, ou seja, o elemento da primeira linha e primeira coluna da primeira matriz será somado com o elemento da primeira linha e primeira coluna da segunda matriz e assim por diante. Já na multiplicação é regra é mais complicada e eu não vou explicar por aqui pois aumentaria e muito a extensão desse texto, mas se quiserem, pesquisem e verifiquem as propriedades.

Eu trarei outros exemplos de anéis e demonstrei como esses exemplos são anéis no próximo texto dessa série.

Por hoje é só. Fiquem bem.