Suponha que seja sexta-feira à noite, você está numa pizzaria com seus amigos e vocês pediram uma pizza de mozarela e uma de calabresa. Você está morrendo de fome.
As pizzas ficam prontas e o garçom as põe na mesa, mas não há garfos nem facas. Todos à sua volta pegam um pedaço com a mão mesmo. Você pega o seu pedaço pela borda e quando tenta morder, a pizza se dobra para baixo.
É muito fácil identificar um leigo tentando comer pizza.
“Maldito seja Newton e maldita seja a gravidade!” É o que você deve estar pensando enquanto o molho de tomate ameaça cair na sua camisa branca. Desesperadamente, você tenta segurar a pizza com as duas mãos, mas um pedaço de queijo escorrega e cai no seu prato. Um dos seus amigos nota a sua incapacidade de comer pizza e sugere:
“Use a técnica do Teorema Egrégio de Gauss”
O Teorema Egrégio, em português Teorema Notável, foi inventado por Carl Friedrich Gauss, o mesmo cara da Lei de Gauss dos campos elétricos e da Distribuição Gaussiana. Segundo esse teorema, a curvatura é uma propriedade intrínseca à superfície, ou seja, não importa como você move, a curvatura gaussiana dela não varia (exceto se você esticar ou cortar a superfície).
A curvatura gaussiana de um ponto numa superfície é determinada pelo produto das curvaturas principais (a curvatura no eixo x e a curvatura no eixo y). Por exemplo, num pedaço de papelão, as curvaturas principais k1 e k2 são iguais a zero, então a curvatura é igual a zero. Uma laranja tem k1 e k2 positivas, então a curvatura é positiva, enquanto que, numa batata, a curvatura principal k1 é positiva, mas a curvatura principal k2 é negativa, portanto, a curvatura gaussiana é negativa.
A curvatura gaussiana é igual à multiplicação das curvaturas principais: k1 (eixo vermelho) e k2 (eixo azul).
Gauss diz que a curvatura gaussiana de uma superfície não pode mudar sem cortar ou esticar a superfície, portanto, ao dobrar uma folha de papel ou apertar uma bola de borracha a curvatura gaussiana desses objetos não varia.
Na folha de papel, a curvatura principal k2 muda de zero para positiva, mas a curvatura gaussiana não muda. Na bola, as duas curvaturas principais, k1 e k2, se tornam negativas, mas o produto delas continua sendo positivo.
Essa propriedade de transformar uma forma na outra sem cortar ou esticar é chamada de isometria, uma folha de papel é isométrica a lateral de um tubo cilíndrico, mas não é isométrica a superfície de uma bola.
Uma folha de papel pode ser facilmente enrolada em uma direção para formar um cilindro, mas é impossível envolver a superfície de uma bola sem que o papel se sobreponha.
Inclusive, isso mostra que é impossível desenhar numa folha de papel um mapa da Terra, sem distorções na área ou nas distâncias, já que a curvatura da superfície da Terra é diferente da curvatura de um papel.
A área e as distâncias no mapa são distorcidas, pois as curvaturas das superfícies são diferentes.
Se a superfície for cortada, você pode variar a sua curvatura gaussiana, mas ela deixa de ser uma forma isométrica.
A casca vazia de uma laranja precisa ser cortada para sua curvatura positiva para zero.
“Mas… Eu só queria comer um pedaço de pizza! O que laranjas, mapas e batata-frita de formato paraboloide hiperbólico tem a ver com pizza?”
Tudo.
Um pedaço de pizza plana, com curvatura gaussiana igual a zero, se dobra quando você o pega pela borda, a gravidade puxa a ponta dele para baixo, o que impede que você saboreie sua pizza. A curvatura principal na direção do raio da pizza se torna positiva, mas a curvatura principal na direção da borda continua sendo igual zero, respeitando o princípio de que a curvatura gaussiana é intrínseca à superfície.
Como foi previsto por Gauss, curvatura gaussiana não varia quando o pedaço de pizza se dobra por ação da gravidade.
Mas você pode usar a invariabilidade da curvatura gaussiana à seu favor: pegue um dos lados da borda do pedaço de pizza com seu polegar e indicador. Em seguida, coloque seu dedo médio por baixo da pizza, levantando o outro lado da borda e dobrando o pedaço de pizza ligeiramente para cima, formando um V ou um U.
Ao ser executada de forma correta, essa técnica faz com que o meio do pedaço de pizza fique reto e a ponta dele na direção da sua boca.
Tornando negativa a curvatura principal na direção da borda, você força a curvatura principal na direção do raio da pizza a ser igual a zero para manter a curvatura gaussiana da superfície constante, já que, a menos que a pizza tenha muito recheio ou a massa seja muito fina, a gravidade sozinha não tem força suficiente para esticar e rasgar o pedaço de pizza.
Demonstração prática da técnica gaussiana. A ponta deste pedaço de pizza foi separada para análise de deliciosidade.
A técnica torna obsoleto o uso de garfo e faca, mas só é eficaz para pizzas planas, se a sua pizzaria serve pizzas não-planares, você deverá ajustar o Teorema Egrégio para melhor se adequar à situação.
Você deve estar se perguntando: “É isso? Gauss inventou esse teorema só pra poder comer pizza sem usar garfo e faca?”
É claro que não, comer pizza sem o auxílio de talheres é, sem sombra de dúvidas, a aplicação mais importante do Teorema Egrégio, mas existem outras. Adicionar curvatura numa direção aumenta a resistência do material a se dobrar na direção perpendicular, essa propriedade é utilizada em telhas onduladas, caixas de papelão, plástico corrugado, nas chaminés de usinas nucleares e também na arquitetura.
Teorema Egrério em aplicações menos úteis do que dobrar um pedaço de pizza.
Então, da próxima vez que você for comer pizza, dispense os talheres, lembre-se de Gauss e do seu Teorema Egrégio e aprecie o maravilhoso fato da curvatura ser intrínseca à superfície.
Hmm… Escrever esse texto me deixou com fome. Acho que eu vou pedir uma pizza.
OBS: O Teorema Egrégio só abrange pizzas com superfície bidimensional em um espaço tridimensional, se você se deparar com uma pizza quadridimensional, mantenha uma distância segura e contate imediatamente o seu matemático de confiança.
Referências:
Como grafar corretamente: Muçarela, mozarela ou mussarela?
Willian Magalhães
Químico, programador e mochileiro das galáxias.
