O título pode ser estranho, mas é um exemplo prático de matemáticas não convencionais (quando falo em “convencional”, falo da que se aprende na escola). Contudo, antes de falar do não convencional, permitam-me lembrar vocês do convencional.

Nós aprendemos, ou deveríamos ter aprendido, que temos quatro operações básicas: a soma ou adição (+), a subtração ou diminuição (-), a multiplicação ( · ou ×) e a divisão (÷  ou :). Essas operações têm algumas propriedades como a propriedade de elemento neutro, associatividade, comutatividade, algumas são compartilhadas por mais de uma operação, outras não. Vou tentar mostrar para vocês.

Propriedade associativa: essa propriedade nos permite escolher o que fazer primeiro, arranjar as nossas operações em qualquer ordem de prioridade. Veja no exemplo abaixo com a adição.

Observe que eu posso escolher o que somar primeiro e isso é ótimo! Talvez eu tenha dificuldade de somar no geral, mas somar de 10 em 10 pode ser mais fácil para alguns, então, em vez de eu fazer aquela soma ali, eu deixo o 10, que é fácil para mim e somo aquilo que me daria mais trabalho (4+6)=10 e veja só! Mais um 10! Melhor, pois assim eu faço uma conta mais simples. E isso se estende a contas com muitos termos Eu poderia sempre arranjar o maior número de 10 possíveis para facilitar minha conta. Obvio que, hoje em dia, com calculadoras de fácil acesso, isso pode parecer dispensável, mas é uma propriedade e nós podemos usar.

A multiplicação também tem essa propriedade, ou seja:

Mais uma vez, tanto faz o que eu vou multiplicar primeiro. Eu posso separar e multiplicar o que eu preferir ou o que for facilitar minha conta. No exemplo, conta com 0 (zero) a direita é mais fácil para alguns.

Propriedade distributiva: essa é uma propriedade que só a multiplicação tem (lembrem-se, estamos considerando somente as operações básicas). A distributiva é a propriedade que permite que a multiplicação seja distribuída numa soma ou numa subtração.

Propriedade comutativa: essa vem do velho ditado “a ordem dos tratores não altera o viaduto”. Comutar significa trocar, essa é a propriedade de poder trocar as coisas de lugar e elas continuarem sendo a mesma coisa no final. Essa aqui também é compartilhada tanto pela soma quanto pela multiplicação.

Propriedade do elemento neutro: essa também é uma propriedade compartilhada entre a adição e a multiplicação. A propriedade nos diz que existe um número que, quando operado (somado ou multiplicado) com um número qualquer, tem como resultado o número qualquer escolhido. Pode parecer complicado quando lido assim, mas é simples de entender quando visto, pois, deve existir um número que, quando somado com qualquer outro, não vai fazer diferença, o mesmo para a multiplicação. Veja, esses números não tem que ser iguais, bem como não são: o elemento neutro da soma é o 0 (zero) e o da multiplicação é o 1 (um).

Propriedade do fechamento: essa propriedade é mais falada hoje em dia. Eu mesmo não aprendi da escola, mas já vi nos livros dos meus antigos aluninhos. Ela nos diz que o resultado de uma operação é um número igual aos que foram operados. O fechamento é uma propriedade válida para as quatro operações básicas mas, dessa vez, tem um elemento a mais: ela só é válida se você definir o conjunto certo. Ela sempre vale para adição e para multiplicação, mas só vale para a subtração se estivermos, pelo menos, nos inteiros (Z), e para a divisão se estivermos, pelo menos, nos racionais (Q).

Eu sei, com todo esse linguajar, você pode ter ficado confuso, mas eu vou partir para os exemplos e explicar um pouco.

Vamos fazer com os número naturais(N) aqueles que nós aprendemos primeiro e nos ajudam a contar, nunca são negativos, nem têm vírgula. (Sim, eu estou incluindo o 0 (zero))

Veja, nós somamos e multiplicamos números naturais e como resultados temos números naturais. Isso é o fechamento. Assim, a gente pode falar que a soma e a multiplicação são fachadas nos naturais. O mesmo não acontece para a subtração nem para a divisão:

Quando fazemos a subtração de um número, no caso o 4, por o um número que é maior que ele, no caso o 6, nós não temos um número natural. O mesmo ocorre quando fazemos a divisão de números que não são múltiplos.

Como eu falei antes, o fechamento exige um ponto a mais, o conjunto. Se você é uma operação fechada, você é uma operação fechada em algum lugar, a soma e multiplicação são fechadas nos naturais, como já falamos. A soma, multiplicação e subtração são fechadas nos números inteiros (Z), pois assim podemos ter números negativos que vêm, eventualmente, da subtração. Já a divisão, pede um conjunto “maior”, o conjunto dos números racionais, que são todos os números que nascem da divisão entre dois números inteiros.

É claro, se estamos falando de matemática convencional, poderíamos fechar com o conjunto dos números reais. Para tanto, precisaremos apresentar a exponenciação (ou potenciação) e a radiciação.

A primeira é aquilo que é comumente falado como “potência”, aquela operação que nem um numerozinho acima e a direita de um número.

O numerozinho em cima (expoente) indica quantas vezes o número de baixo (base) tem que ser multiplicado.

Já a radiciação é aquilo que chamam de raiz. Ela também tem um númerozinho, mas, dessa vez, ele indica qual número que, se aplicado àquele expoente, dá o resultado dentro da raiz.

Veja, a raiz quadrada (ou simplesmente raiz) de 9 é 3, pois 3 ao quadrado (3²) é 9, a raiz cúbica de 27 é 3 pois 3 ao cubo (3³) é 27 e a raiz quarta de 81 é 3 pois 3 elevado a quarta (3⁴) é 81, e assim sucessivamente.

É com essa operação, a radiciação, que nós obtemos os números irracionais, a parte que falta nos reais. Veja, as raízes que eu mostrei são “bonitinhas”, ou seja, elas dão números exatos, mas e a raiz quadrada de 2? Bom esse é um número irracional, ou seja, um número que não pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros.

e isso ocorre para todas a raízes que não são exatas. Esse conjunto contem todos os números reais com essa característica, ou seja, todos os números que não podem ser escritos a partir da divisão de dois números inteiros. É aqui que teremos o famosíssimo π (pi), o número de Euler (e) e outros. Como falei, aqui cabem todos os números com essa propriedade.

Bom, isso foi a introdução ao convencional, uma breve revisão de operações básicas na matemática, fique com isso em mente para o próximo texto, em que vamos chegar no “não convencional”.