Esse texto é uma tradução autorizada, mas não oficial do texto The Promising Math Behind ‘Flattening the Curve’ escrito por Rhett Allain na WIRED, seguida de uma análise do tradutor ao final do texto.
Doenças infecciosas se espalham exponencialmente, sim, mas apenas no começo. Graças a Deus.
Na semana passada eu escrevi sobre a impressionante matemática de uma pandemia viral (texto do autor original, em inglês). Nós falamos sobre como doenças infecciosas se espalham exponencialmente, não linearmente — e como isso pode fazer o que parece um pequeno problema, por algumas semanas, se tornar de repente algo muito, muito grande. Esse é o desafio enfrentado pelos líderes hoje. Às vezes o único modo de evitar um desastre é agir antes que pareça justificado.
Como um exemplo, eu utilizei alguns números do CDC (Centers for Disease Control and Prevention) do total de casos de Covid-19 nos Estados Unidos. Na segunda-feira, 16 de Março, a contagem era de 4.000 casos; na quarta-feira o número já havia crescido para 8.000. Se você jogasse isso em uma linha reta, você diria: Hmm, está aumentando em 4.000 a cada dois dias. Você iria esperar que 12.000 casos ocorressem na sexta-feira e 16.000 no Domingo, 22 de Março. Ah, se fosse…
Em vez disso, usando um modelo de crescimento exponencial, você pergunta: Qual a taxa de crescimento? E você percebe que o número dobrou de segunda para quarta-feira. Se continuasse nessa taxa — crescendo 100% a cada dois dias —, você teria predito 16.000 casos na sexta-feira e 32.000 casos no domingo. Bem.. Enquanto escrevo isso, no domingo, 22 de março, o número oficial é de 32.644 casos.
Isso se chama crescimento exponencial. Se continuasse assim, nós teríamos 1 milhão de casos daqui a 10 dias, e dentro de um mês, todas as pessoas nos Estados Unidos estariam infectadas. Agora a boa notícia: isso não vai acontecer! As coisas vão ficar feias, mas não tão feias, e hoje eu vou te mostrar o porquê. Aquele modelo exponencial simples, na verdade, só consegue explicar o crescimento dos casos até certo ponto.
A taxa de infecção irá cair
É importante lembrar a razão de um surto se espalhar de forma exponencial no começo. Digamos que exista um número N de pessoas infectadas, e cada uma delas (seguindo o padrão que eu descrevi acima) infecta uma nova pessoa a cada dois dias. Logo, em dois dias, teremos duas vezes o número de pessoas infectadas (2N) carregando o vírus. Em seguida, cada uma delas infecta uma nova pessoa gerando um total de 4N pessoas infectadas e assim por diante. Quanto mais pessoas infectadas existem, mais novas pessoas serão infectadas a cada passo. É um trem desgovernado.
Em termos gerais, nós escrevemos isso como uma fórmula de atualização, em que uma mudança no número total de casos (𝚫N) em um determinado intervalo de tempo (𝚫t) — digamos que seja um dia — é proporcional ao número total de pessoas infectadas (N), e que isso é proporcional a um fator, a, que é a taxa percentual de infecção diária.
Apenas utilizando essa fórmula de atualização diária, nós geramos um gráfico do espalhamento do vírus. Eu supus uma taxa de infecção mais baixa de 0.20. ou seja a=0.20, o que significa que o número de casos aumenta 20% a cada dia (em vez dos 100% a cada dois dias que falamos anteriormente). Isto é, se existir uma cidade pequena e isolada com 10.000 pessoas, e uma pessoa infectada fosse para lá (isto é, N = 1 no dia zero), então o número total de infecções iria crescer do seguinte modo:
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Sim, isso é apavorante. Após isso, fui ver alguns dados reais do Covid-19 ao redor do mundo. No país que está com o surto há mais tempo, a China, a curva é um pouco diferente: um tipo de curva em formato de S alongado. A curva começa a subir de forma exponencial pelos primeiros dez dias ou algo parecido, mas depois disso ela desacelera e finalmente fica nivelada. Não ficou piorando e piorando indefinidamente.
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Eu fiz esse gráfico uma semana atrás, mas a situação na China ainda é a mesma: o número total de casos tem permanecido achatado ao redor dos 80.000. E isso em uma população de 1.4 bilhão de pessoas. O que está pegando?
Antes de tudo, governos não ficam parados sem fazer nada: eles colocam pacientes em quarentena, limitam deslocamentos, fecham escolas e o comércio. A China fechou Wuhan e a província de Hubei e as isolou do resto do país, logo, a população sob risco foi muito menor do que o 1.4 bilhão de pessoas, que é a população da China.
Mas ainda existe uma outra razão, mais básica. Sob crescimento exponencial, o número de pessoas infectadas por dia cresce constantemente, para sempre. Entretanto, isso só pode acontecer a se houvesse população infinita. Na realidade, quanto mais pessoas ficam doentes, menos pessoas saudáveis restam para os doentes passarem o vírus.
Isso significa que a taxa de infecção não pode permanecer constante, como o nosso modelo assumia — a taxa precisa diminuir ao longo do tempo. Logo, uma vez que exista um perímetro de segurança em torno de um local, a função exponencial eventualmente se torna inadequada para modelar estágios mais tardios do espalhamento do vírus naquele local.
Conheça a função logística
Para melhorar nosso modelo, vamos alterar aquela fórmula de atualização mencionada acima, adicionando um fator que reduz a taxa de infecção de acordo com o crescimento de N (número de infectados). Nmax será o número máximo de pessoas que podem ser infectadas. Para simplificar, você pode pensar nisso como a população total. Abaixo está um modo de como podemos fazer isso:
A equação acima pode ser chamada de função logística. Segue como ela funciona: no começo do surto, N é muito pequeno. Isso significa que o que está dentro dos parênteses é basicamente igual a 1 (já que um pequeno N dividido por um Nmax grande é muito próximo de zero). Logo, nos primeiros estágios, teremos crescimento exponencial.
Mas o que acontece quando o N se torna um número muito grande? A razão N/Nmax se aproxima mais e mais de 1, o que significa que o que está dentro dos parênteses se aproxima de zero (1-1 = 0), e o número de infecções a cada dia (𝚫N) gradualmente encolhe para zero. Nesse modelo você não pode ter mais infecções do que Nmax (o tamanho da população).
Agora vamos colocar isso em um novo modelo. Eu defini Nmax como 80.000, e estou usando uma taxa de infecção inicial de 0.394, que é o que medimos dos dados da China na semana passada. (Você pode alterar esses pressupostos. Para isso, clique no lápis abaixo, altere os valores no código e clique em Play para executar o código com suas alterações e visualizar o novo gráfico.). Fica mais ou menos assim:
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Não está perfeito, mas se parece mais com o caminho real da doença na China.
Achatando a Curva
Agora, temos um modelo que captura o padrão de disseminação viral nos estágios inicial e tardio de uma epidemia, e podemos utilizá-lo. Então, o que acontece quando um estado ou município entra em ação fechando escolas, fechando ligas esportivas e fazendo as pessoas ficarem em casa? A mesma dinâmica explicada acima permanece em vigor, com a diferença que você reduz a taxa básica de infecção a.
Imagine o seguinte cenário. Ambos os plots abaixo tem o mesmo Nmax, mas o azul assume uma taxa de infecção de a = 0.394, e o vermelho tem um a = 0.3. Uma diferença de menos de 0.1. Vejamos a diferença:
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Observe que, em ambos os casos, o número total de infectados termina igual, 80.000. Qual é a sacada então? Por que se incomodar em tentar reduzir a taxa de crescimento? Tem a ver com as inclinações dessas curvas.
Em vez de pensar no número total de infectados, pense na rapidez com que novas infecções ocorrem (rate, que é taxa em inglês). Lembre-se, o número de novas infecções por dia pode ser calculado por:
E isso é apenas a inclinação da curva que representa o número total de infecções. (Observação: não se confunda aqui; agora estou usando a “taxa de infecção” para significar o número real de novas infecções por dia, não a taxa básica de crescimento a, que é em termos percentuais).
Se eu traçar a taxa de novas infecções ao longo do tempo, em vez do número de infectados, podemos ver algo importante. Aqui está o que obtemos para as duas curvas acima:
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Este é o “achatamento da curva” que todo mundo está falando. Com uma taxa de crescimento mais alta, mais pessoas ficam doentes ao mesmo tempo. Alguns deles precisarão de cuidados hospitalares para sobreviver — mas, se os hospitais estiverem cheios, a triagem de casos entra em cena e situações ruins acontecem. Algumas pessoas serão deixadas sem tratamento para que outras sejam tratadas. Essa é a Itália, onde quase 10% dos infectados morreram (comparado com cerca de 1% em outros países).
Reduza esse pico e espalhe as infecções por um longo período de tempo. Isso pode não parecer ótimo, pois todos nós ficamos loucos em ambientes fechados. Mas isso significa que você evita sobrecarregar o sistema de saúde. Reduza a taxa de crescimento, estique a curva e salve vidas.
Feito corretamente, isso pode reduzir drasticamente a taxa de mortalidade, como vimos em outros países como a Coréia do Sul, onde apenas 1% dos infectados morreram. E se conseguirmos? Em retrospectiva, pode parecer que o Covid-19 não era tão perigoso no final das contas, e fizemos tudo isso por nada. Não se deixe enganar.
O texto acima do Dr. Allain, Professor Associado da North Carolina State University, chamou minha atenção pela clareza com que ele explica o porquê do achatamento da curva sem deixar de lado a compreensão matemática do fenômeno. Não é uma questão de impedir que as pessoas sejam contaminadas, eventualmente elas serão, mas de empurrar o máximo possível de contaminações para o futuro onde teremos (a) infraestrutura de saúde adequada e em boas condições para receber e tratar o paciente e (b) mais informações sobre o vírus e a doença (mais clareza sobre os sintomas e a fisiopatologia da doença, taxa de letalidade, protocolos de tratamento, boas práticas). Inclusive, as recomendações de não tocar no rosto e lavar as mãos frequentemente funcionam de modo parecido, porque você está artificialmente reduzindo a taxa de contaminação do vírus. Você supostamente deveria estar sendo contaminado, pois sua mão está infectada, mas antes de levá-la ao rosto (e ser contaminado) você a lava.
Você provavelmente já viu alguma versão do GIF abaixo se referindo a achatar a curva do número de novos casos para um patamar onde boa parte dela esteja abaixo de uma linha horizontal simbolizando a capacidade de atendimento da infraestrutura de saúde.
Retirado de “Por que ficar em casa?” do DataSciBR.
Em um texto do portal DataSciBR, eles trouxeram projeções desse GIF para os estados Brasileiros como é possível ver nas próximas três imagens abaixo.
Como vocês podem ver, muito em breve inevitavelmente iremos sobrecarregar a infraestrutura de saúde de vários estados, o que não é surpresa já que o Ministério da Saúde já informou oficialmente que isso irá ocorrer em Abril deste ano. E como foi possível ver ao longo desse texto, tão pouco o objetivo é impedir que as pessoas sejam infectadas. Muitas de nós seremos. A questão é não chegar ao ponto de termos que escolher quem poderá continuar respirando com auxílio de equipamentos, e quem irá ficar sem respirar.
E será que o mundo, como um todo, já está passando por essa fase? É só uma gripe comum, né? A gripe suína em 2009 assustou muita gente, se você se lembra bem. A COVID-19 alcançou 1.000 mortes por dia três vezes mais rápido, como pode ser visto na imagem abaixo.
Imagem retirada daqui.
E como será que a COVID-19 se compara com outras pandemias/epidemias até agora?
O vídeo animado da evolução das epidemias pode ser reproduzido aqui.
Uma notícia boa, no entanto, é que o SARS-CoV-2, o vírus que causa a doença COVID-19, não parece sofrer mutações tão frequentemente quanto outros vírus. Isso significa que, diferente da gripe comum que quase todo ano novas vacinas precisam ser criadas, a vacina para o SARS-CoV-2, quando desenvolvida, provavelmente irá manter-se válida por mais tempo. Outro ponto positivo, se os resultados dessas análises vierem a se comprovar, é que o SARS-CoV-2 tem menos chance de sofrer uma mutação que leve para uma cepa (variação do vírus) mais agressiva e letal da doença. Eu preferi deixar esse trecho do texto para o final para encerrar com uma informação importante: O pânico não ajuda. Pelo contrário, ele pode inclusive atrapalhar. O objetivo de explicar sobre o achatamento da curva não é te assustar e por medo te convencer a ficar em casa. O objetivo é que você compreenda o porquê de ser importante achatar a curva, e como as práticas de distanciamento social contribuem para diminuirmos o número de novas pessoas infectadas em um intervalo de tempo.
